危机一，希帕索斯发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即√2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对立，所以被称作了无理数。希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚。

约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯解决了关于无理数的问题. 他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，巧妙地处理了可公度和不可公度. 他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致. 21世纪的中国中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处.

危机二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。微积分诞生后数学家们把微积分应用于各个领域，并获得丰硕成果但是微积分在理论基础上存在很多缺陷百思特网。第二次数学危机是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。

直到柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分在这些工作基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

这次危机不但没有阻碍微积分的迅猛发展和广泛应用，反而让微积分驰骋在各个科技领域，解决了大量的物理问题、天文问题、数学问题，大大推进了工业革命的发展。就其自身得到了不断的系统化，完整化，拓展出不同的分支，成为了18世纪数学世界的“霸主”。

危机三，罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！

康托尔的集合论是数学史上最具革命性和创造性的理论，他处理了数学上最棘手的对象——无穷集合，让无数因“无穷”而困扰许久的数学家们在这种神奇的数学世界找回了自己的精神家园。到了20世纪初，集合论已经得到数学家们的普遍赞同，大家一致认为，一切数学成果都可以建立在集合论的基础之上了，就连集合论诞生之初强烈反对的著名数学家庞加莱也兴高采烈地在1900年的第二次国际数学家大会上宣布：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了。”然而，好景不长，一个震惊数学界的消息传出，集合论是有百思特网漏洞的！如果是这样，则意味着数学大厦的基础出现了漏洞，对数学界来说，这将是多么可怕啊！

罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R，现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不属于自身，即R不属于R。另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R，这样，不论任何情况都存在矛盾，这就是有名的罗素悖百思特网论。

罗素悖论不仅动摇了整个数学大厦的基础，也波及到了逻辑领域，德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿而即将付印时，收到了罗素关于这一悖论的信，他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟，他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”这样，罗素悖论就影响到了一向被认为极为严谨的两门学科——数学和逻辑学。