四色定理（轰动全球的四色问题）

1、“四色猜想”的由来

1852年，刚从大学毕业的学生弗南西斯葛斯里，在对英国地图着色的时候，发现一个很有趣的现象。对无论多么复杂的地图，只消用四种色调就足以将相邻区域分开。弗南西斯感到这绝不是一个偶然现象，其中说不定隐藏着某种深刻的科学道理哩。他把自己的想法告诉胞兄弗德雷克葛斯里，请他解决。后者是著名数学家德摩根教授的学生。他对弟弟提出的问题很感兴趣，并敏锐地感到，这个地图着色问题很可能是个数学问题，于是准备给出数学证明。尽管他绞尽脑汁，却百思不得其解。当年10月23日，弗德雷克第一次用数学的形式作为“四色定理”请求德摩根给以证明。摩根教授对自己的学生所提出的定理有着浓厚的兴趣，当即写信将这事告诉了他在三一学院时的学友、著名数学家和物理学家哈密尔顿爵士: “我的一个学生今天要我为他提供一个充分的理由，来说明一件我自己还无法判明究竟是对的还是错的事实。他说，如果画一张图，图上任意分成许多部分，凡是有共同边界线的两部分要涂上不同的颜色。那么，大概需要四种颜色，而不需要更多的颜色就可以了。请问：难道不能够构造出一个需要五种或者更多种颜色的图么？

图1

摩根教授期望这位智慧超人的超复数的缔造者能够给出答案。哈密尔顿爵士根本没有想到，一个学生提出的这样一个简简单单的问题，居然会如此百思特网意想不到的困难。他经过长达13年的冥思苦索，直到1865年逝世为止，对此染色定理，始终一筹莫展，毫无结果。

哈氏死后13年，1878年6月13日，一位当时很有名望的数学家凯莱，在数学年会上宣读他曾在伦敦数学会会刊上发表过的一篇文章时，将上述问题归纳为“四色猜想”。并在 1879年英国皇家地理会创办的第一期会刊上，再次提及这个“猜想”，征求对这一“猜想”的正确解答。

川凯莱的文章和讲话，引起了很大的反响，吸引了一大批很有才华的有志之士去探索这一难题的奥秘。值得一提的是，在这群有志之士中，有的人并不是以数学为专业的，而仅仅是对“四色猜想”着了迷而改攻数学的。这便是轰动全球的“四色猜想”的由来。

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2、发扬风尚的游戏

自凯莱归纳出“四色猜想”后，恰好一年光景，律师出身而改钻数学的数学家肯普写百思特网成一篇论文，给出了第一个证明。证明发表以后、人们普遍认为“四色难题” 已成为历史，“猜想”已变为现实。不料11年后，到了1890年，有位年仅20岁的后起之秀希伍德，指出肯普的证明是错误的。这样一来， “四色猜想”依旧悬而未决。希伍德在指出肯普律师的错误时，也肯定了他的成绩，并且还采用肯普在论文中提供的方法成功地证明了“五色定理”。

经过这次波折，研究“四色猜想”的情绪更加振奋起来。热衷这一难题的有志者比比皆是。为了让人们凭直觉在客观上证实这个猜想必然成立，数学家斯蒂芬还设计出一种风行一时的“染色游戏”。游戏由两人（或多人）参加，第一人任画一闭合区域，由对手着色；着完色后，后者再画一闭合区域让对手（或是第三者）染色，如此循环进行。游戏规定，不论谁，若着色完毕并画出闭合区域后，迫使后继者非染第五种色调不可时，便判谁为负。这个规定很有意思，整个游戏中，每次染色都得为后继者着想，不能迫使他用第五种色。如图3，当E区画定时，D区只能染黄色。否则，由于E区与前四区相邻，后继者非染第五种颜色不可。这充分表明，要想迫使对方非染第五种颜色，那真是易如反掌。 可是，游戏规定，谁这样作谁便为负。所以，必须时刻发扬风格，才能使自己立于不败之地。

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那么，是否只要切实地注意发扬风格，就确实能立于不败之地呢？据说，自倡导染色游戏以来，没有谁真正负过一次。这在客观上便生动表明：不管闭合区域多么复杂、多么怪，只用四色涂染，相邻区域肯定能分开。换句话说，“四色猜想”的必然成立是毫无疑义的。

但是，游戏毕竟是游戏，它只能说明四色猜想成立与否的趋向性，怎么也不能用游戏去代替科学证明。那么，在理论上得如何下手去证明呢？长时期来，成千上万的数学工作者和爱好者深为这一难题所困扰。

3、耐人寻味的插曲

在“四色猜想”的进军途中，有着不少耐人寻味的插曲。有位才思过人、谦虚持重、声望崇高的名数学家，一度担任过爱因斯坦数学导师的闵可夫斯基教授，也因轻视这一问题的难度而闹出过一则小笑话。

事情是这样的。有一次，他正给苏黎士大学的研究生们上课，一时兴起，谈起“四色问题”来。他满不在乎地说： “四色猜想之所以一直没有获得解决，究其缘由是因为当今世界第一流的数学家们，还没来得及研究它。其实，要解决这一猜想，并不见得会有多难。”说着便拿起粉笔，即兴推演，潜以为能一挥而就，当场解决这一难题。他一口气写了几黑板，没料到越写情况越复杂，越讲头绪越繁多，讲着讲着，不由自主地“挂”起黑板来了。虽然如此，教授毫不灰心，他坚信自己确有能力揭开奥秘，决不草率收兵。第二天、第三天……一连几天都接着讲，接着算，接着写。同样，每一次都“挂”黑板，而且一次比一次更狼狈。闵可夫斯基对证明这一猜想所需的工作量远远估计不足，结果， “马克松”式的一连“挂”了几个星期黑板，搞得他焦头烂额，不得不中途告吹。几里期后的一天上午，他疲惫不堪地走进教室。这时，正值雷电交加，大雨倾盆，闵可夫斯基十分愧疚地说百思特网： “唉！看来，上帝在责怪我狂妄自大！四色猜想真难呀，我简直拿它毫无办法！”

图4

从闵可夫斯基为“四色猜想”空前受挫之后，“四色问题”与“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”齐名，即使人津津有味，又令人望而生畏。

4、“四色定理”的例证

对“四色定理”，要给出一般证明的确不是轻而易举的事。但是对若干特殊情形，我们不难给出完满的证明。为了给读者提供资料，现在就正十二面体可用四色涂染作为例证 以窥一斑。

为了画图方便和直观起见，将正十二面体经过“开孔”，“展开”，“摊平”，画成平面网络（图5）。

并且约定：1号面为“前面”，12号面为“背面”，2至6号面称为“第一环面”，7至11号面称为“第二环面”。另外，若通过正十二面体的一个旋转，可以将两种涂色方法的同色面完全重合时，则将这两种涂色方案看成是相同的。有了这些规定之后，我们就可以证明下述定理：用四色涂染正十二面体，有且仅有四种不同的染色方案。

图5

可分三个步骤进行推证：

第一步，对正十二面体着色，不管任何方案，四种颜色中每种都恰好使用三次（请读者想想这是为什么？）。

第二步，显然，1号面与12号面决不能同色。并且，1号面色调必与第二环面中使用两次的色彩相合；12号面必与第一环面涂染两次者同色。这显然表明，当第一环面与背面的色彩染定时，就只能按照唯一的一种染色方法给其余各面涂上颜色。

第三步，从图6可知，用四种颜色对正十二面体着色，一共只有十二种方案。图中每一行所列的四种方案是互不相同的，而每列所示的三个方案皆可通过旋转而重合。因此证明，只有四种不同的染色方案。

图6

5、科学史的殷切嘱望

上例说明，一张地图中，国家的个数不超过12时，四色定理确实是成立的。这一成功，激发人们不懈地去提高图中国家数目的上限：1922年，有人证明了，一张图中国家的个数不超过25时，四色定理成立；1938年，有人把国家数目提高到32; 1940年，国家数目提高到35; 1969年，上限推到39。这就是说，1922年到1969年将近半个世纪，使“四色定理”得以成立的国家数仅仅提高了14个。这样，要想否定“四色猜想”，至少得设计一张包括40个相邻的闭合区域才有可能。

图7

与此同时，还有人从另一方面开辟道路，提出一系列与四色猜想“等价”的猜想。只要这些“等价”猜想中的任意一个得到证实，那么，四色猜想即告解决。1972年，有人在一篇论文中，对这类“等价”猜想，一口气列出13个之多，可是谁也没能打开缺口，闯出新路。到了二十世纪七十年代中期，美国伊利诺斯大学数学家阿沛尔教授和哈肯教授独树一帜，他们采用肯普当年创立的“不可避免性”与“构形可约性”这一基本思想，启动三台1BM360型超高速电子计算机（这是大学毕业生柯奇专为阿沛尔和哈肯装配的），运转1200个机时，进行了两百亿次逻辑判定，终于在1976年9月获得“四色定理”的证明。为了纪念阿沛尔和哈肯的功绩，伊利诺斯大学城乌尔班纳邮局，在发布“四色定理”已经获证消息的当天，便加盖了纪念邮戳"FOUR COLORS SUFFICE!"（只要四种颜色就够了）借以记录下这亘古以来 的奇迹，同时，及时将成功的喜讯传遍全球。

尽管“四色猜想”在大型超高速电子计算机的帮助下奇迹般地变成了“四色定理”，但四色问题并未因此而宣告结束。我们知道，数学证明的传统风格是简明严谨，笔墨可互施。这个启动超高速电子计算机也要费上千个机时的“马拉松证明”能不能加以简化？不用计算机械能不能给出证明？除了阿沛尔和哈肯的方法外，还存不存在其它的方法？所有这些，还摆在数学家和科学爱好者的面前！所有这些，还期待着人们去思索，去探求，去发现，去解决！所有这些，便是科学史赋予人类的殷切瞩望！